Različiti načini dokazivanja Pitagorinog teorema: primjeri, opis i recenzije
U jednoj možete biti sigurni sto postopostotak, da pitanje o tome što je jednako kvadratu hipotenuze, svaka odrasla osoba hrabro će odgovoriti: "zbroj kvadrata nogu". Taj je teorem čvrsto ukorijenjen u umu svake obrazovane osobe, ali samo trebate zatražiti nekoga da to dokazuje, a potom može doći do poteškoća. Stoga se prisjetimo i razmotrimo različite načine dokazivanja Pitagorinog teorema.
Pregled biografije
Pitagoristički je teorem poznat gotovo svima, aliiz nekog razloga, biografija osobe koja ga je proizvela nije tako popularna. Može se popraviti. Stoga, prije proučavanja različitih metoda dokazivanja Pitagoranskog teorema, potrebno je kratko upoznati njegovu osobnost.
Pitagora je filozof, matematičar, misliocDrevna Grčka. Danas je vrlo teško razlikovati njegovu biografiju od legendi koje su nastale u sjećanje na ovog velikog čovjeka. Ali kako slijedi iz djela njegovih sljedbenika, Samosova Pitagora je rođena na otoku Samos. Otac mu je bio običan kamenac, ali majka je došla iz plemenite obitelji.
Prema legendi, rođenje Pitagorepredvidio je ženu po imenu Pythia, u čiju čast i nazvala dječaka. Prema njezinu predviđanju, rođeni dječak trebao bi donijeti mnogo koristi i dobro čovječanstvu. Što je zapravo učinio.
Rođenje teorema
U svojoj mladosti, Pitagora se preselila iz SamosaEgipat da se upoznaju s poznatim egipatskim mudracima. Nakon susreta s njima, bio je dozvoljen da nauči, gdje je naučio sva velika dostignuća egipatske filozofije, matematike i medicine.
Vjerojatno je u Egiptu Pitagora bio nadahnutveličanstvo i ljepotu piramida i stvorio svoju veliku teoriju. To može šokirati čitatelje, ali moderni povjesničari vjeruju da Pitagora nije dokazao svoju teoriju. No, on je samo prenio svoje znanje svojim sljedbenicima, koji su kasnije dovršili sve potrebne matematičke izračune.
U svakom slučaju, danas nitko nije poznat.metoda dokazivanja ovog teorema, ali nekoliko odjednom. Danas ostaje samo pretpostaviti kako točno drevni Grci izrađivali svoje izračune, stoga ovdje razmotrimo različite načine dokazivanja pitagorejskog teorema.
Pitagoristički teorem
Prije nego započnete bilo kakve izračune, morate saznati koju teoriju dokazati. Pitagorejski teorem ovako zvuči: "U trokutu gdje je jedan od kutova 90oko, zbroj kvadrata nogu jednak je kvadratu hipotenuse. "
Postoji 15 različitih načina dokazivanja pitagoranskog teorema. Ovo je prilično veliki broj, pa ćemo obratiti pažnju na najpopularnije.
Metoda jedan
Prvo, označavamo ono što nam je dato. Ti će se podaci proširiti i na druge metode dokazivanja Pitagoranskog teorema, tako da se odmah zapamtite sve postojeće oznake.
Pretpostavimo da je dodijeljen pravokutni trokut, s a i b katetama jednakim c. Prva metoda dokazivanja temelji se na činjenici da treba izvući kvadrat s desnog trokuta.
Da biste to učinili, trebate duljinu nogu anacrtati segment koji je jednak nogu u, i obrnuto. Tako bi trebale biti dvije jednake strane trga. Ostaje samo nacrtati dvije paralelne crte, a kvadrat je spreman.
Unutar rezultirajuće figure morate izvući višejedan kvadrat sa stranom jednakom hipotenusu prvobitnog trokuta. Da biste to učinili, s vrha AC i SV potrebno je nacrtati dva paralelna segmenta jednaka c. Dakle, postoje tri strane kvadrata, od kojih je jedna hipoteza izvornih desnih trokuta. Ostaje samo crtati četvrti segment.
Na temelju dobivenog uzorka možemo zaključiti da je područje vanjskog kvadrata (a + b)2, Ako pogledate unutar oblika, možete vidjeti da pored unutrašnjeg kvadrata postoje i četiri pravokutna trokuta. Područje svakog od njih je 0,5.
Dakle, područje je: 4 * 0.5av + s2= 2av + s2
Odavde (a + c)2= 2av + s2
I zato, s2= a2+ u2
Dokazan je teorem.
Druga metoda: slični trokuti
Ta je formula dokaz pitagoranskog teoremaizvedena je na temelju izjave odsjeka geometrije o sličnim trokutima. Kaže da je noga pravog trokuta prosječni proporcionalan njenoj hipotenuzu i segment hipotenuze koji proizlazi iz vrha 90oko.
Izvorni podaci ostaju isti, tako da odmah započnemo s dokazom. Izvršite okomito na bočnu AB segment SD. Na temelju gore navedene izjave, noge trokuta su jednake:
AC = √ AB * AD, CB = √ AB * DV.
Da bismo odgovorili na pitanje kako dokazati Pitagorin teorem, dokaz se mora prikazati kvadratom obje nejednakosti.
AS2= AB * AD i SV2= AB * DV
Sada moramo dodati rezultirajuću nejednakost.
AS2+ SV2= AB * (HELL * LW), gdje HELL + LW = AV
Ispada da:
AS2+ SV2= AB * AB
I zato:
AS2+ SV2= AB2
Dokaz o pitagoranskom teoremu i različitim načinima njegovog rješavanja potrebno je višestrukim pristupom ovom problemu. Međutim, ova opcija je jedna od najjednostavnijih.
Druga metoda izračuna
Opis različitih načina dokazivanja teoremaPitagora ne može ništa reći ništa, sve dok se ne počnete prakticirati. Mnoge metodologije uključuju ne samo matematičke izračune već i konstrukciju novih figura iz izvornog trokuta.
U tom slučaju, potrebno je dovršiti još jedan pravokutni trokut AF-a. Dakle, sada postoje dva trokuta s zajedničkim BC.
Znajući da područja takvih figura imaju omjer kao kvadratiće njihovih sličnih linearnih dimenzija, onda:
Sabeceda * s2- SAVD* u2 = SAVD* a2- SIRR* a2
Sabeceda* (s2-u2) = a2* (S.AVD-SIRR)
s2-u2= a2
s2= a2+ u2
Budući da je iz različitih metoda dokazivanja Pitagoranskog teorema za 8. razred ova mogućnost jedva pogodna, možemo koristiti sljedeću metodu.
Najjednostavniji način dokazivanja Pitagorinog teorema. Recenzije
Povjesničari vjeruju da je ovo bio prvi putkoristi se za dokazivanje teorema u staroj Grčkoj. To je najjednostavniji jer ne zahtijeva apsolutno nikakve izračune. Ako crtate sliku ispravno, onda je dokaz izjave da2+ u2= s2 biti jasno vidljivi.
Uvjeti za ovu metodu će se malo razlikovati od prethodne. Da bi se dokazao teorem, pretpostavimo da je desni trokut ABC isosceles.
Uzimamo hypotenusu AS za stranu trga iMi smo tri njegove stranke. Pored toga, potrebno je nacrtati dvije dijagonalne linije u dobivenom kvadratu. Tako da unutar njega postoje četiri jednodijelna trokuta.
Za AV i SV catets također je potrebno nacrtati trg i nacrtati jednu dijagonalu ravnu liniju u svakoj od njih. Prva ravna crta izvlačimo s vrha A, druga - od C.
Sada morate pažljivo pogledati rezultirajuću sliku. Budući da na AC hipotenudu postoje četiri trokuta, jednaka izvorniku, a dva na nogama, to označava istinitost tog teorema.
Usput, zahvaljujući ovoj metodi dokazivanja Pitagoranskog teorema, rođena je poznata fraza: "Pitagoreanske hlače su ravnopravne u svim smjerovima".
Dokaz J. Garfielda
James Garfield je dvadeseti predsjednik Sjedinjenih Američkih Država. Osim činjenice da je ostavio trag u povijesti kao vladar Sjedinjenih Država, bio je nadaren i samouki.
Na početku karijere bio je običanučiteljice u narodnoj školi, ali je ubrzo postao direktor jedne od visokoškolskih ustanova. Nastojeći se razviti i omogućiti mu da predloži novu teoriju dokaza o pitagoranskom teoremu. Teorem i primjer njegova rješenja su sljedeći.
Prvo morate privući papir dvapravokutni trokuti tako da je noga jednog od njih nastavak drugog. Vrhovi ovih trokuta trebaju biti povezani kako bi se završilo trapezom.
Kao što je poznato, područje trapeza je jednako proizvodu polumake svojih baza i njegove visine.
S = a + b / 2 * (a + b)
Ako uzmemo u obzir rezultirajući trapezoid kao lik koji se sastoji od tri trokuta, tada se njezino područje može naći na sljedeći način:
S = AV / 2 * 2 + s2/ 2
Sada morate uravnotežiti dva izvora
2av / 2 + s / 2 = (a + b)2/ 2
s2= a2+ u2
O pitagoranskom teoremu i kako to dokazati, možete pisati više od jednog volumena udžbenika. Ali ima li smisla kada se to znanje ne može provesti?
Praktična primjena Pitagorinog teorema
Nažalost, u suvremenim školskim programimaOvaj se teorem može koristiti samo u geometrijskim problemima. Diplomci će uskoro napustiti zidove škole, nikad ne znajući kako primijeniti svoje znanje i vještine u praksi.
U stvari, upotrijebite Pitagorejski teorem usvatko može voditi brigu o svakodnevnom životu. I ne samo u profesionalnim aktivnostima, nego iu običnim kućanskim poslovima. Razmotrimo nekoliko slučajeva u kojima bi Pitagorin teorem i metode za njegovo dokazivanje mogli biti iznimno nužni.
Komunikacijski teorem i astronomija
Čini se da se zvijezde i trokuta mogu povezati na papiru. Zapravo, astronomija je znanstveno polje u kojem je pedagog teorema široko korišten.
Na primjer, razmotrite kretanje svjetlosne zrake u prostoru. Poznato je da se svjetlost kreće u oba smjera istom brzinom. Poznata je putanja AB koja pokreće svjetlosnu zraku l. I pola vremena koje svjetlost mora dobiti od točke A do točke B, pozivamo t, I brzina zrake - c. Ispada da: c * t = l
Ako gledaš tu drugu zrakuzrakoplov, na primjer, iz svemirskog broda koji se kreće pri brzini v, a tada s takvim promatranjem tijela njihova se brzina mijenja. U tom slučaju, čak i stacionarni elementi kretati se s brzinom v u suprotnom smjeru.
Pretpostavimo da komični brod pluta desno. Zatim se točke A i B, između kojih se baca zraka, krenuti ulijevo. Štoviše, kada se greda pomiče od točke A do točke B, točka A ima vremena za pomicanje i, prema tome, svjetlost će stići na novu točku C. Da biste pronašli polovicu udaljenosti od točke A koja se kreće, morate pomnožiti brzinu košuljice za polovicu vremena kada se zraka kreće (t „).
d = t "* v
Da biste pronašli udaljenost koju bi zraka svjetlosti mogla proći tijekom tog vremena, trebate odrediti pola staze nove bukve i dobiti sljedeći izraz:
s = c * t "
Ako zamislite da su točke svjetlosti C i B, iBudući da je sloj svemira vrh jednodijelnog trokuta, segment od točke A do košuljice podijelit će ga u dva desna trokuta. Stoga, zahvaljujući pitagoranskom teoremu, možete pronaći udaljenost koju bi mogla proći zraka svjetlosti.
a2 = l2 + d2
Ovaj primjer, naravno, nije najuspješniji, budući da samo nekolicina može imati dovoljno sreće da je isprobate u praksi. Stoga, smatramo više svjetovnih varijanti primjene ovog teorema.
Radius mobilnog signala
Suvremeni život više se ne može zamisliti bez postojanja pametnih telefona. No, koliko bi od njih prokli, ako nisu mogli povezati pretplatnike putem mobilne komunikacije?
Kvaliteta mobilne komunikacije izravno ovisi ovisina antene mobilnog operatera. Da biste izračunali koliko daleko telefon može primiti signal s mobilnog tornja, možete primijeniti Pitagorejski teorem.
Pretpostavimo da trebate pronaći približnu visinu fiksnog tornja, tako da može propagirati signal unutar radijusa od 200 kilometara.
AB (visina tornja) = x;
SU (polumjer prijenosa signala) = 200 km;
OS (radijus zemaljske kugle) = 6380 km;
Odavde
OB = OA + ABOV = r + x
Primjenom Pitagoranskog teorema, otkrivamo da minimalna visina tornja treba biti 2,3 kilometra.
Pitagoristički teorem u svakodnevnom životu
Neobično dovoljno, Pitagorejski teorem može postatikorisno čak iu domaćim poslovima, poput određivanja visine ormara, na primjer. Na prvi pogled nema potrebe koristiti takve složene izračune, jer jednostavno možete mjeriti uz pomoć mjerne trake. Ali mnogi se pitaju zašto postoje određeni problemi u procesu montaže ako su sva mjerenja poduzeta više nego točno.
Činjenica je da će ormar bitihorizontalni položaj i tek tada se diže i montira na zid. Stoga, prilikom dizanja strukture, bočna stijenka kabineta mora slobodno proći kroz visinu i dijagonale prostorije.
Pretpostavimo da je ormar s dubinom od 800 mm. Udaljenost od poda do stropa - 2600 mm. Iskusni proizvođač namještaja će reći da visina ormarića mora biti 126 mm manja od visine prostorije. Ali zašto točno 126 mm? Razmislite o primjeru.
Uz idealne dimenzije kabineta, provjeravamo učinak Pitagorinog teorema:
AC = √AB2+ √ВС2
AC = √247428002= 2600 mm - sve to odgovara.
Pretpostavimo da visina kućišta nije jednaka 2474 mm, ali 2505 mm. zatim:
AC = √25052+ √8002= 2629 mm.
Stoga, ovaj ormar nije pogodan za instalaciju u ovoj sobi. Od kada ga podižete u vertikalnom položaju, njegovo tijelo može biti oštećeno.
Možda, nakon razmatranja različitih načina dokazivanjaPythagoreanski teoremi različitih znanstvenika, možemo zaključiti da je više nego istinito. Sada možete koristiti informacije dobivene u svom svakodnevnom životu i biti potpuno sigurni da će svi izračuni biti ne samo korisni, nego i istiniti.
