Neodređeni integral. Izračun neodređenih integrala

Jedan od temeljnih dijelova matematičkeAnaliza je integralni račun. Pokriva najširi polje objekata, gdje je prvi neodređeni integral. Vrijedno je pozicionirati kao ključ, koji, čak i u srednjoj školi, otkriva sve veći broj perspektiva i mogućnosti koje opisuje veća matematika.

izgled

Na prvi pogled čini se da je cjelina sasvim jasnamoderna, relevantna, ali u praksi se ispostavilo da se pojavljuje u 1800. pr. Kr. Domovinsko područje službeno se smatra Egipatom, jer rani dokazi o njegovom postojanju nisu došli do nas. Zbog nedostatka informacija cijelo vrijeme je postavljen jednostavno kao fenomen. Još jednom je potvrdio razinu razvoja znanosti među narodima tih vremena. Konačno, pronađeni su djela drevnih grčkih matematičara iz 4. stoljeća prije Krista. Opisali su metodu u kojoj je korišten neodređeni integral, čija je suština bila pronaći volumen ili područje krivudave figure (trodimenzionalne i dvodimenzionalne ravnine). Načelo izračuna temelji se na podjeli izvornog broja u infinitezimalne komponente, pod uvjetom da je njihov prostor (površina) već poznat. Tijekom vremena, metoda je narasla, Arhimed je upotrijebio za traženje područja parabole. Slične izračune u isto vrijeme provodili su znanstvenici u drevnoj Kini, a bili su potpuno neovisni od grčkih kolega znanstvenika.

razvoj

Sljedeći proboj u 11. stoljeću bio je već AD.djelo arapskog univerzalnog znanstvenika Abu Ali al-Basrija, koji je gurao granice onoga što je već poznato, izrađujući formule bazirane na integralu za izračunavanje zbroja serija i sume stupnjeva od prvog do četvrtog, koristeći metodu matematičke indukcije koju smo poznavali.

Umovi suvremenih vremena dive se drevnim ljudimaEgipćani su stvorili nevjerojatne spomenike arhitekture, bez ikakvih posebnih adaptacija, osim možda njihovih ruku, ali nije moć uma znanstvenika toga doba, a ne manje čudo? U usporedbi sa sadašnjim, njihov život izgleda gotovo primitivan, ali rješenje neodređenih integrala izvedeno je posvuda i korišteno u praksi za daljnji razvoj.

Sljedeći korak dogodio se u XVI. Stoljeću, kadatalijanski matematičar Cavalieri proizveo je nedjeljivu metodu koju je Pierre Fermat zgrabio. Ove su dvije osobnosti postavile temelje za suvremeni integralni račun, koji je trenutno poznat. Povezali su pojmove diferencijacije i integracije, koji su prethodno bili percipirani kao autonomne jedinice. Općenito, matematika tih vremena bila je fragmentirana, čestice zaključaka postojale same, imaju ograničen opseg. Put kombiniranja i traženja kontaktnih točaka bio je jedini točan u to doba, zahvaljujući njemu, suvremena matematička analiza mogla je rasti i razvijati se.

S vremenom se sve promijenilo i oznakauključujući i. U velikoj je mjeri određen od strane znanstvenika koji su bili toliko, primjerice, Newton je koristio kvadratnu ikonu u kojoj je postavio integriranu funkciju ili je jednostavno sastavio.

Ta je neslaganja trajala do sedamnaestog stoljeća,kada je Gottfried Leibnitz, znak za cijelu teoriju matematičke analize, uveo simbol tako poznat nama. Izduženi "S" zapravo se temelji na ovom pismu latinske abecede, budući da označava zbroj antiderivacija. Ime je sastavljeno Jacobu Bernoulliju nakon 15 godina.

Formalna definicija

Neodređeni integral izravno ovisi o definiciji antiderivativnih, stoga ga smatramo prvo.

Antiderim je inverzna funkcija.derivat, u praksi je također nazvan primitivan. Inače: antiderivativa funkcije d je takva funkcija D, čiji je derivat jednaka v <=> V "= v. Traženje antiderivativa je izračun neodređenog integrala, a taj se proces naziva integracija.

primjer:

S (y) = y funkcija³i njegov antiderivativni S (y) = (y⁴/ 4).

Skup svih primitivnih funkcija u pitanju je neodređeni integral, označen kako slijedi: ∫v (x) dx.

Zahvaljujući činjenici da je V (x) samo nekaantiderivativ izvorne funkcije, sljedeći izraz ima: ∫v (x) dx = V (x) + C, gdje je C konstanta. Prema proizvoljnoj konstanti mislimo na bilo koju konstantu, budući da je njegov derivat nula.

nekretnine

Svojstva koja posjeduju neodređeni integral temelje se na osnovnoj definiciji i svojstvima derivata.

Razmotrite ključne točke:

• integral od derivata primitivnog je primitiv, plus proizvoljna konstanta C <=> ∫V "(x) dx = V (x) + C;
• derivat integralne funkcije izvorna je funkcija <=> (∫v (x) dx) "= v (x);
• konstanta se izvlači iz znaka integralnog <=> ∫kv (x) dx = k∫v (x) dx, gdje k ​​je proizvoljan;
• integral koji je preuzet iz zbroja jednako je zbroju integralnih <=> (v (y) + w (y)) dy = ∫v (y) dy + ∫w (y) dy.

Od posljednja dva svojstva možemo zaključiti da je neodređeni integral linearan. Zbog toga imamo: ∫ (kv (y) dy + ∫ lw (y)) dy = k∫v (y) dy + l∫w (y) dy.

Za konsolidaciju, razmotrite primjere rješavanja neodređenih integrala.

Potrebno je pronaći cjeloviti (3sinx + 4cosx) dx:

• ∫ (3sinx + 4cosx) dx = 3sinxdx + 4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + C.

Na primjeru možemo zaključiti: ne znate kako riješiti neodređene integrale? Samo pronađite sve primitive! Ali pogledajte naÄŤela pretraživanja u nastavku.

Metode i primjeri

Da biste riješili integral, možete se pridržavati sljedećih metoda:

• upotrijebite gotov stol;
• integrirati u dijelove;
• integrirati zamjenom varijable;
• zbrajajući diferencijalni znak.

stolovi

Najlakši i najugodniji način. Trenutno se matematička analiza može pohvaliti vrlo opsežnim tablicama koje sadrže osnovne formule neodređenih integrala. Drugim riječima, postoje obrasci izvedeni za vas i za vas, ostaje ih samo koristiti. Slijedi popis glavnih stolnih pozicija na kojima možete prikazati gotovo svaki primjer koji ima rješenje:

• ∫0dy = C, gdje je C konstanta;
• ∫dy = y + C, gdje je C konstanta;
• ∫yⁿdy = (y^{n + 1}) / (n + 1) + C, gdje C je konstanta, a n je broj različit od jednog;
• ∫ (1 / y) dy = ln | y | + C, gdje je C konstanta;
• ∫e^ydy = e^y + C, gdje je C konstanta;
• ∫k^ydy = (k^y/ ln k) + C, gdje je C konstanta;
• ∫cosydy = siny + C, gdje C je konstanta;
• Inysinydy = -cosy + C, gdje je C konstantna;
• ∫dy / cos²y = tgy + C, gdje je C konstantna;
• ∫dy / sin²y = -ctgy + C, gdje je C konstanta;
• ∫dy / (1 + y²) = arctgy + C, gdje je C konstantna;
• ∫chydy = stidljiv + C, gdje je C konstanta;
• ∫shydy = chy + C, gdje je C konstanta.

Ako je potrebno, poduzmite nekoliko koraka, unesite integrand na stol i uživajte u pobjedi. Primjer: ∫cos (5x -2) dx = 1 / 5tocos (5x - 2) d (5x - 2) = 1/5 x sin (5x - 2) + C.

Odlukom je jasno da za primjer u tablici integand nema faktor 5. Dodamo ga paralelno s tim, pomnožavamo se za 1/5, tako da se opći izraz ne mijenja.

Integracija u dijelove

Razmotrite dvije funkcije - z (y) i x (y). Moraju se kontinuirano razlikovati po čitavoj domeni. Jedno od svojstava diferencijacije imamo: d (xz) = xdz + zdx. Integriranje obje strane jednakosti dobivamo: ∫d (xz) = (xdz + zdx) => zx = ∫zdx + ∫xdz.

Ponovno prepisivanjem dobivene jednakosti dobivamo formulu koja opisuje metodu integracije u dijelovima: ∫zdx = zx - ∫xdz.

Zašto je to potrebno? Činjenica je da neki primjeri mogu biti pojednostavljeni, relativno govoreći, kako bi se smanjili szdzdx do xxz, ako je drugi blizu tabularnog oblika. Također, ova formula može se primijeniti više puta, postižući optimalne rezultate.

Kako riješiti neodređene integrale na ovaj način:

• potrebno je izračunati ∫ (s + 1) e^2sdS

∫ (x + 1) e^2sds = {z = s + 1, dz = ds, y = 1 / 2e^2s, dy = e^2xds} = ((s + 1) e^2s) / 2-1 / 2-vse^2sdx = ((s + 1) e^2s) / 2-e^2s/ 4 + C;

• potrebno je izračunati ∫lnsds

∫s = slns -s + C = s (lns-1) + Σs = ss = ss = sns = C.

Zamjenska zamjena

Ovo načelo rješavanja neodređenih integrala nijemanje potražnje od prethodnih dviju, iako je teže. Metoda je kako slijedi: neka V (x) bude sastavnica neke funkcije v (x). U slučaju da se sam sastav u primjeru pojavljuje na spoju, vjerojatno će se zbuniti i donijeti pogrešnu odluku putanju. Kako bi se to izbjeglo, prakticira se prijelaz iz varijable x do z, u kojem je opći izraz vizualno pojednostavljen dok održava ovisnost z na x.

U matematičkom jeziku izgleda ovako: ∫v (x) dx = v (y (z)) y "(z) dz = V (z) = V^-1(x)), gdje x = y (z) je permutacija. I, naravno, inverzna funkcija z = y^-1(x) u potpunosti opisuje ovisnost imeđusobna povezanost varijabli. Važna napomena je da se diferencijalni dx nužno zamjenjuje novim diferencijalom dz, budući da zamjena varijable u neodređenom tijelu podrazumijeva zamjenu varijable svugdje, a ne samo u integrandu.

primjer:

• potrebno je pronaći ∫ (s + 1) / (s² + 2s - 5) ds

Primijenite zamjenu z = (s + 1) / (s²+ 2s-5). Zatim dz = 2sds = 2 + 2 (s + 1) ds <=> (s + 1) ds = dz / 2. Kao rezultat toga dobivamo sljedeći izraz, koji je vrlo lako izračunati:

∫ (s + 1) / (s²+ 2s-5) ds = (dz / 2) / z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2ln | s²+ 2s-5 | + C;

• potrebno je pronaći cjelinu 2^ae^adx

Da biste riješili, ponovo napišite izraz u sljedećem obliku:

∫2^ae^ads = ∫ (2e)^aDS.

Označite a = 2e (ovaj korak nije zamjena za argument, to je još uvijek), donosimo naš naoko kompleksni sastav elementarnom obliku tablice:

2 (2e)^ads = .a^ads = a^a / lna + C = (2e)^a / ln (2e) + C = 2^ae^a / ln (2 + lne) + C = 2^ae^a / (ln2 + 1) + C.

Diferencijalni znak

Općenito, ova metoda neodređenih integrala je brat blizanac principa varijabilne zamjene, no postoje razlike u procesu projektiranja. Razmotrimo detaljnije.

Ako je (v (x) dx = V (x) + C i y = z (x), tada ∫v (y) dy = V (y) + C.

Štoviše, ne može se zaboraviti trivijalne integralne transformacije, među kojima su:

• dx = d (x + a), gdje je a bilo koja konstanta;
• dx = (1 / a) d (ax + b), gdje je a opet konstanta, ali nije jednaka nuli;
• xdx = 1 / 2d (x² + b);
• sinxdx = -d (cosx);
• cosxdx = d (sinx).

Ako razmotrimo opći slučaj, kada izračunamo neodređeni integral, primjeri se mogu sažeti pod općom formulom w "(x) dx = dw (x).

primjeri:

• treba pronaći ∫ (2s + 3)²ds, ds = 1 / 2d (2s + 3)

∫ (2s + 3)²ds = 1 / 2∫ (2s + 3)²d (2s + 3) = (1/2) x ((2s + 3)²) / 3 + C = (1/6) x (2s + 3)² + C;

Dstgsds = /sins / cossds = d (coss) / coss = -ln | coss | + C.

Online pomoć

U nekim slučajevima krivnja može bitiili lijenost, ili hitna potreba, možete koristiti online savjete, odnosno, koristite kalkulator neodređenih integrala. Unatoč prividnoj složenosti i kontroverzama integrala, njihovo rješenje podliježe određenom algoritmu, koji se temelji na principu "ako ne ... onda ...".

Naravno, osobito zamršeni primjeri takvihkalkulator neće biti ovladan, jer postoje slučajevi u kojima se rješenje mora naći umjetno, "prisilno" uvođenjem određenih elemenata u proces, jer se rezultati ne mogu postići očitim sredstvima. Unatoč kontroverznoj prirodi ove tvrdnje, ona je istinita, budući da je matematika, u načelu, apstraktna znanost, i smatra da je nužnost širenja granica mogućnosti njezin primarni zadatak. Doista, u skladu s teškim teorijama, vrlo je teško napredovati i razvijati se, tako da ne biste trebali pretpostavljati da su primjeri rješavanja neodređenih integrala koje smo dali na vrhu mogućnosti. Ali natrag na tehničku stranu. Barem za provjeru izračuna, možete koristiti usluge u kojima je sve ispisano prije nas. Ako postoji potreba za automatskim izračunom složenog izraza, onda to neće učiniti, morat ćete pribjeći ozbiljnijem softveru. Vrijedno je obratiti pozornost na MatLab okruženje.

primjena

Prvo rješavanje neodređenih integralačini se da je izgled potpuno odvojen od stvarnosti, jer je teško vidjeti očiglednu ravan primjene. Doista, ne mogu se koristiti bilo gdje izravno, ali se smatraju nužnim posrednim elementom u procesu izvođenja rješenja koja se koriste u praksi. Dakle, integracija je povratna diferencijacija, zbog čega aktivno sudjeluje u procesu rješavanja jednadžbi.

S druge strane, te jednadžbe imajuizravan utjecaj na rješavanje mehaničkih problema, izračun trajektorija i toplinske vodljivosti - ukratko, sve što čini sadašnjost i oblikuje budućnost. Neodređeni integral, primjeri koje smo prije razmotrili, tek je na prvi pogled trivijalan, jer je osnova za stvaranje novih i novih otkrića.