Što su razlike? Kako pronaći razliku funkcije?

Uz derivate njihove funkcije Različiti su jedan od osnovnih pojmova razlikovanjaračun, glavni dio matematičke analize. Budući da su neraskidivo povezani, aktivno su korišteni već nekoliko stoljeća kako bi riješili gotovo sve probleme koji su se pojavili u procesu znanstvenih i tehničkih aktivnosti čovjeka.

Podrijetlo pojma diferencijal

Prvo je objasnio što je diferencijal, jedanod osnivača (zajedno s Isaac Newton) Diferencijalni račun poznati njemački matematičar Gottfried Leibniz. Prije ovog matematičara 17 čl. koristiti vrlo nejasne i nejasne ideje o nekom infinitezimalni „nepodijeljena” od bilo koje poznate funkcije, što predstavlja vrlo mali stalnu vrijednost, ali nije jednaka nuli, ispod koje vrijednosti funkcija ne može biti jednostavno. Stoga samo jedan korak uvođenja pojmova infinitezimalnih koracima od funkcija i njihovih argumenata koracima od funkcija koje se mogu izraziti u terminima derivata potonje. I taj je korak gotovo istodobno učinio dva gore spomenuta velika znanstvenika.

Na temelju potrebe za rješavanjem pritiskanjapraktični mehanika problemi koji stavljaju na znanost uspješan industrije i tehnologije, Newton i Lejbnits stvorili zajedničke načine pronalaženja stopu promjene funkcije (prvenstveno u odnosu na mehaničke brzine tijela po poznatom putu), što je dovelo do uvođenja takvih pojmova kao derivat i diferencijalne funkcije i našli smo rješavanje inverznog problema kao poznatog (varijabilnom) brzinom kako bi se pronašli udaljenost algoritam putovao, što je dovelo do pojave koncepta integral.

U spisima Leibniza i Newtona se prvi put pojavioideja da su razlike - proporcionalna je povećanje od osnovnih argumenata * H povećava Δu funkcije koje se mogu uspješno primijeniti za izračunavanje vrijednosti potonjeg. Drugim riječima, oni su otkrili da funkcija prirast može biti na bilo kojoj točki (u svojoj domeni definiciji) je izražen kroz svoje derivata kako Δu = y „(x) * H + αΔh gdje α * H - ostatak, teži nuli kako ðH → 0, mnogo je brži od samog Δx.

Prema osnivačima analize,razlike su točno prvi termini u izrazu inkrementa bilo koje funkcije. Još nisu imali jasno formuliranu koncepciju granica sekvence, intuitivno su shvatili da veličina diferencijala ima tendenciju do derivata funkcije kao Δx → 0 - Δy / Δx → y "(x).

Za razliku od Newton, koji je bio prvenstvenofizičar i smatra matematički aparat kao pomoćni alat za proučavanje fizičkih problema, Leibniz je više pažnje posvetio ovom alatu, uključujući sustav vizualne i razumljive notacije matematičkih veličina. Upravo je on predložio opće prihvaćeno zapisivanje za razlike funkcije dy = y "(x) dx, argument dx i derivate funkcije u obliku njihovog omjera y" (x) = dy / dx.

Moderna definicija

Koja je razlika u smislu moderne matematike? Usko je povezan s konceptom povećanja varijable. Ako varijabla y najprije uzme vrijednost y = y₁i zatim y = y₂onda je razlika y₂ ─ y₁ zove inkrement y.

Povećanje može biti pozitivno. negativna i nula. Riječ "prirast" označena je s Δ, unos Δu (čitaj "delta") označava povećanje od y. tako da Δu = y₂ ─ y₁.

Ako je vrijednost Δy arbitrarne funkcije y = f (x)moguće je prikazati u obliku Δu = A Δh + α, gdje A nema ovisnosti o Δh, tj. A = const za određeni x, a izraz α kao Δh → 0 ima tendenciju čak i brže od Δh, a prva ("Principal"), proporcionalan Δh, i je diferencijal za y = f (x), označen sa dy ili df (x) (čitaj "de ip", "de eff od x"). Dakle, razlike su "glavni" linearni s obzirom na Δh komponente inkrementa funkcija.

Mehanička interpretacija

Neka s = f (t) bude udaljenost ravnatočka pomicanja od početne pozicije (t - vrijeme boravka na putu). Povećanje Δs je put točke u vremenskom intervalu Δt, a razlika ds = f "(t) Δt je put koji bi točka prolazila u istom vremenu Δt ako zadrži brzinu f" (t) do trenutka t , S infinitezimalnim Δt, imaginarnu stazu ds razlikuje se od prave Δs beskonačno malom vrijednošću, koja ima višu razinu s obzirom na Δt. Ako brzina u vremenu t nije nula, onda ds daje približnu vrijednost malog pomaka točke.

Geometrijsko tumačenje

Neka linija L bude grafikon y = f (x). Tangent MN dijeli segment Δu u dva dijela, QN i NM ". Prvi je proporcionalan Δh i jednak je QN = MQ ∙ tg (kut QMN) = Δh f "(x), tj. QN je diferencijalna dy.

Drugi dio NM "daje razliku Δu ─ dy, kada je Δh → 0duljina NM "smanjuje čak i brže od inkrementa argumenta, tj. njezin je poredak malenosti viši od vrijednosti Δx. U slučaju koji se razmatra, s f" (x) 0 (tangenta nije paralelna s OX), segmenti QM "i QN su ekvivalentni; drugim riječima, NM "se smanjuje brže (redoslijed malnosti je veći) nego puni prirast Δu = QM" .To se vidi na slici (kao M približava "M segment NM" je manji postotak segmenta QM ").

Dakle, grafički, diferencijalna proizvoljna funkcija jednaka je porastu ordinata njegove tangente.

Derivativni i diferencijalni

Koeficijent A u prvom terminu funkcije povećanja funkcije jednak je vrijednosti njenog derivata f "(x). Dakle, sljedeći odnos zadržava - dy = f" (x) Δx, ili df (x) = f "(x) Δx.

Poznato je da je povećanje neovisnog argumenta jednako njegovu diferencijalu Δx = dx. Prema tome, možete napisati: f "(x) dx = dy.

Pronalaženje (ponekad kažu, "rješenje") diferencijala provodi se istim pravilima kao i za derivate. Popis njih je dano u nastavku.

Što je sve univerzalnije: povećanje argumenata ili njezina razlika

Ovdje je potrebno napraviti neka objašnjenja. Faktor može biti složen, u kojem x može biti funkcija nekog argona t. Zatim je diferencijalna reprezentacija f "(x) Δx obično nemoguća; osim za slučaj linearne ovisnosti x = at + b.

Što se tiče formule f "(x) dx = dy, onda u slučaju nezavisnog argumenta x (tada dx = Δx), a u slučaju parametarske ovisnosti x na t, to predstavlja razliku.

Na primjer, izraz 2 x Δx predstavlja za y = x² njen diferencijal pri x je argument. Sad postavimo x = t² i uzmemo t kao argument. Zatim y = x² = t⁴.

Nakon toga slijedi (t + Δt)² = t² + 2tΔt + Δt², Dakle, Δh = 2tΔt + Δt², Tako: 2xAh = 2t² (2tΔt + Δt² ).

Ovaj izraz nije proporcionalan Δt i stoga sada 2xΔx nije diferencijal. Može se pronaći iz jednadžbe y = x² = t⁴, To je jednako dy = 4t³Dt.

Ako uzmemo izraz 2xdx, onda predstavlja razliku y = x² za bilo koji argument t. Doista, s x = t² dobivamo dx = 2tΔt.

Tako 2xdx = 2t²2tΔt = 4t³Δt, tj. Izrazi razlikama, napisani u dvije različite varijable, podudaraju se.

Zamjena koraka s razlikama

Ako je f "(x) ≠ 0, onda Δu i dy su ekvivalentni (kao Δh → 0), ako f" (x) = 0 (što znači i dy = 0), oni nisu ekvivalentni.

Na primjer, ako je y = x²onda Δu = (x + Δh)² ─ x²= 2xAx + Δx², i dy = 2xAh. Ako x = 3, tada imamo Δu = 6Ah + Δh² i dy = 6Δx, koji su ekvivalentni zbog Δx²→ 0, kada je x = 0, vrijednosti Δu = Δh² i dy = 0 nisu ekvivalentni.

Ta činjenica, uz jednostavnu strukturudiferencijal (tj. linearnost u odnosu na Δh), često se koristi u približnim izračunima, uz pretpostavku da Δy ≈ dy za mali Δx. Pronalaženje diferencijalne funkcije obično je lakše od izračuna točne vrijednosti prirasta.

Na primjer, imamo metalnu kocku s rubom x = 10,00 cm. Kada je grijana, rub se produžio za Δh = 0,001 cm. Koliko je povećan volumen V kocke? Imamo V = x²pa dV = 3x²Δh = 3 10²/ 0/01 = 3 (cm³). Povećanje ΔV jednako je diferencijalnoj dV, tako da je ΔV = 3 cm³, Puni račun izračunava ΔV = 10,01³ ─ 10³ = 3.003001. No, kao rezultat, sve brojke osim prvog su nepouzdane; to znači, svejedno, trebate zaokružiti do 3 cm³.

Očito, takav pristup je koristan samo ako je moguće procijeniti veličinu uvedene pogreške.

Diferencijalne funkcije: primjeri

Pokušajmo pronaći razliku funkcije y = x³bez pronalaženja derivata. Dajte argumentu prirast i odredite Δy.

Δu = (Δh + x)³ ─ x³ = 3x²AH + (3xAh² + Δx³).

Ovdje je koeficijent A = 3x² ne ovisi o Δh, tako da je prvi izraz proporcionalan Δx, drugi član je 3xΔx² + Δx³ kao Δx → 0 smanjuje se brže od inkrementa argumenta. Dakle, član 3x²Δx je diferencijal y = x^3:

dy = 3x²Δx = 3x²dx ili d (x³) = 3x²DX.

U ovom slučaju, d (x³) / dx = 3x².

Sada nalazimo dy funkcije y = 1 / x kroz njegov derivat. Tada d (1 / x) / dx = ─1 / x², Dakle, dy = Δh / h².

Diferencijali osnovnih algebarskih funkcija dani su u nastavku.

Približni izračuni pomoću diferencijala

Često je lako izračunati funkciju f (x), kao i njenu izvedenicu f "(x) s x = a, ali to može biti teško učiniti u blizini točke x = a. Zatim dolazi do približnog izraza.

f (a + )h) ≈f "(a) Δx + f (a).

To daje približnu vrijednost funkcije pri malim prirastima Δx kroz njezin diferencijalni f "(a) Δx.

Stoga ova formula daje približnu vrijednostizraz za funkciju na krajnjoj točki određenog segmenta duljine Δh kao zbroj njezine vrijednosti na početnoj točki tog segmenta (x = a) i razlike na istoj početnoj točki. Pogreška ove metode za određivanje vrijednosti funkcije prikazana je na slici ispod.

Međutim, točan izraz funkcije vrijednosti za x = a + Δx, dan u formuli konačnih prirasta (ili, inače, Lagrangeovom formulom), također je poznat

f (a + Δh) ≈f "(ξ) Δx + f (a),

gdje je točka x = a + ξ na segmentu od x = ana x = a + Δh, iako je njegov točan položaj nepoznat. Točna formula omogućuje procjenu pogreške približne formule. Ako u Lagrangeovoj formuli stavimo ξ = Δh / 2, onda, iako prestaje biti točna, ona daje, u pravilu, mnogo bolju aproksimaciju od izvornog izraza kroz diferencijal.

Procjena formula pogrešaka pomoću diferencijala

Mjerni instrumenti su u načelu netočni iu mjerne podatke unose odgovarajuće pogreške. Karakterizira ih maksimalna apsolutna pogreška, ili, ukratko, maksimalna pogreška - pozitivan broj koji očigledno premašuje ovu pogrešku u apsolutnoj vrijednosti (ili barem jednaku njoj). Maksimalna relativna pogreška naziva se kvocijent njezine podjele apsolutnom vrijednošću izmjerene vrijednosti.

Neka se koristi točna formula y = f (x)izračunavanje funkcije y, ali vrijednost x je rezultat mjerenja i stoga uvodi grešku u y. Zatim, kako bi pronašli graničnu apsolutnu pogrešku funkcije │‌‌Δy│‌‌ y, upotrijebite formulu

│Δu│≈│‌‌dy│ = │ f "(x) │Δh│,

gdje je │Δh│ marginalna pogreška argumenta. Vrijednost │Δ│ treba biti zaokružena; netočna je zamjena izračuna prirasta na samom diferencijalnom izračunu.