Osnove matematičke analize. Kako pronaći derivat?

Derivat neke funkcije f (x) u betonutočka x0 je granica omjera inkrementa funkcije na inkrement argumenta, pod uvjetom da x slijedi do 0, a granica postoji. Derivat je obično označen premazom, ponekad točkom ili diferencijalom. Često, zapis privučen preko granice je pogrešan, budući da se takva reprezentacija koristi vrlo rijetko.

Funkcija koja ima određeni derivattočka x0, uobičajeno je nazvati razliku u takvoj točki. Pretpostavimo da je D1 skup točaka na kojima je f diferenciran. Dodjela da svaki od brojeva x, pripadaju D f „(x), dobivamo funkciju oznaku područja D1. Ova funkcija je derivat y = f (x). Označava se kao f '(x).

Osim toga, derivat je naširoko koristi ufizike i inženjerstva. Uzmimo u obzir najjednostavniji primjer. Materijalna točka se kreće duž osi koordinata izravno, pri čemu se daje prava gibanja, tj. Koordinata x ove točke poznata je funkcija x (t). U vremenskom intervalu od t0 do t0 + t, pomak točke je x (t0 + t) -x (t0) = x, a njegova prosječna brzina v (t) je x / t.

Ponekad se lik pokreta prikazuje na takav način kadamale vremenske intervale, prosječna brzina se ne mijenja, što znači da se kretanje smatra jedinstvenijim s većim stupnjem točnosti. Ili vrijednost prosječne brzine, ako t0 slijedi do neke apsolutno točne vrijednosti, koja se naziva trenutna brzina v (t0) ove točke u određenom trenutku vremena t. Pretpostavlja se da je trenutačna brzina v (t) poznata za svaku diferenciranu funkciju x (t), pri čemu je v (t) jednak x '(t). Jednostavno rečeno, brzina je izvedenica vremenske koordinate.

Trenutačna brzina ima i pozitivne inegativne vrijednosti, a vrijednost 0. Ako se na određenom vremenskom intervalu (t1, t2) pozitivan, onda točka se kreće u istom smjeru, tj x (t) koordinatni povećava s vremenom, a ako v (t) negativan, onda koordinata x (t) smanjuje.

U složenijim slučajevima, točka se kreće u ravnini ili u prostoru. Tada je brzina vektorska veličina i određuje svaku od koordinata vektora v (t).

Slično se može usporediti s ubrzanjemtočka kretanja. Brzina je funkcija vremena, tj. V = v (t). A derivat takve funkcije je ubrzanje gibanja: a = v '(t). To jest, ispada da je derivat brzine u odnosu na vrijeme ubrzanje.

Pretpostavimo da je y = f (x) bilo diferenciranfunkcija. Tada možemo uzeti u obzir kretanje materijalne točke duž koordinatne linije koja se javlja iza zakona x = f (t). Mehanički sadržaj derivata omogućuje vizualno tumačenje teorema diferencijalnog računanja.

Kako pronaći derivat? Pronalaženje derivata neke funkcije zove se njegova diferencijacija.

Dati ćemo primjere kako pronaći izvedenu funkciju:

Derivat stalne funkcije je jednak nuli; derivat funkcije y = x jednak je jednoj.

I kako pronaći frakturu? Da biste to učinili, razmotrite sljedeći materijal:

Za sve x0 <0 imamo

y / x = -1 / x0 * (x + x)

Postoji nekoliko pravila za pronalaženje derivata. Naime:

Ako se funkcije A i B diferenciraju na točki x0,tada se njihov zbroj razlikuje u točki: (A + B) '= A' + B '. Jednostavno rečeno, derivat suma je jednak zbroju derivata. Ako se funkcija diferencira u nekom trenutku, tada njegov inkrement ide na nulu kada je povećanje argumenta nula.

Ako se funkcije A i B diferenciraju na točki x0,onda se njihov proizvod razlikuje u točki: (A * B) '= A'B + AB'. (Vrijednosti funkcija i njihovih derivata izračunavaju se na točki x0). Ako se funkcija A (x) diferencira u točki x0, a C je konstanta, tada se CA razlikuje u ovom trenutku i (CA) '= CA'. To je, takav konstantni faktor uzima se kao znak derivata.

Ako su funkcije A i B diferencirane na točki x0, a funkcija B nije jednaka nuli, onda njihov omjer je također diferenciran na točki: (A / B) '= (A'B-AB') / B * B.